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Sistema de coordenadas rectangulares 📏

Sistema de coordenadas cartesianas (rectangulares)

Un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares se encuentra formado por dos líneas rectas, una recta horizontal y otra recta vertical.

El lugar en donde se unen ambas rectas se le llama origen, y como veremos más adelante tiene las coordenadas (0,0).

A la recta horizontal le llamamos el eje de las abscisas o eje de las X.

A la recta vertical le llamamos el eje de las ordenadas o eje de las Y.

Localización de Puntos en el Plano

Para localizar un punto en el Plano, es necesario contar con las coordenadas del punto, mismos que son representados de la siguiente forma:

(Coordenada en el eje X, Coordenada en el eje Y)

Coordenada en el Eje de las abscisas o eje de las X

Los valores de X serán negativos si se encuentran a la izquierda del origen, y aquellos que se encuentren a la derecha del origen serán positivos.

Coordenada en el Eje de las ordenadas o eje de las Y

Los valores de Y serán negativos si se encuentran abajo del origen, y aquellos que se encuentren arriba del origen serán positivos.

Ejemplo 1.

Ubicar el punto A ( 4, -2 ).

Observando que

(Coordenada en el eje X, Coordenada en el eje Y)

A ( 4, -2 )

Por lo tanto, el valor en el eje X es 4 (al ser positivo va a la derecha del origen), y el valor en el eje Y es -2 (al ser negativo va abajo del origen).

Ejemplo 2.

Ubicar el punto B ( -2, -1 ).

Observando que

(Coordenada en el eje X, Coordenada en el eje Y)

B ( -2, -1 )

Por lo tanto, el valor en el eje X es -2 (al ser negativo va a la izquierda del origen), y el valor en el eje Y es -1 (al ser negativo va abajo del origen).

Ejemplo 3.

Ubicar el punto C ( 5, 3 ).

Observando que

(Coordenada en el eje X, Coordenada en el eje Y)

C ( 5, 3 )

Por lo tanto, el valor en el eje X es 5 (al ser positivo va a la derecha del origen), y el valor en el eje Y es 3 (al ser positivo va arriba del origen).

Ejemplo 4.

Ubicar el punto D ( -1, 2 ).

Observando que

(Coordenada en el eje X, Coordenada en el eje Y)

D ( -1, 2 )

Por lo tanto, el valor en el eje X es -1 (al ser negativo va a la izquierda del origen), y el valor en el eje Y es 2 (al ser positivo va arriba del origen).

Videos de apoyo: Sistema de coordenadas rectangulares 🔎

https://youtu.be/43yNvqC1yaE

https://youtu.be/2P46FprOypc

https://youtu.be/sHdoMU2GCLg

Distancia entre puntos 📏

Distancia entre dos puntos

Para estudiar la distancia entre dos punto consideremos la siguiente figura.

Fórmula para calcular la distancia entre dos puntos y el teorema de Pitágoras
La fórmula para calcular dicha magnitud está dada por la siguiente expresión:

$d(A,B)=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.$

El valor de esta fórmula puede ser obtenido usando el Teorema de Pitágoras. Para ello, consideremos el triángulo rectángulo de vértices

$A(x_{1},y_{1})$ , $B(x_{2},y_{2})$ y $C(x_{2},y_{1})$ .

Notemos que el valor de la hipotenusa de este triángulo es la distancia entre los puntos

$A(x_{1},y_{1})$ y $B(x_{2},y_{2})$ .

Ya que la magnitud de los segmentos que unen $A(x_{1},y_{1})$ y $C(x_{2},y_{1})$ , $C(x_{2},y_{1})$ y $B(x_{2},y_{2})$ son $(x_{2}-x_{1})$ y $(y_{2}-y_{1})$ respectivamente.

El Teorema de Pitágoras afirma que el valor de la hipotenusa o la distancia entre

$A(x_{1},y_{1})$ y $B(x_{2},y_{2})$ es $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.$

Ejemplos de distancia entre dos puntos

1 Calcular la distancia entre los puntos: $A(2, 1)$ y $B(-3, 2).$
$d(A,B)=\sqrt{(-3-2)^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{(-5)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}.$

2 Determinar la condición para que los puntos $A(0,a)$ y $B(1,2)$ disten una unidad.

Si la distancia entre $A$ y $B$ es uno, esto quiere decir que

$d(A,B)=\sqrt{(1-0)^{2}+(2-a)^{2}}=1,$

elevando al cuadrado para eliminar la raíz

    $1+(2-a)^{2}=1,$
    $(2-a)^{2}=0,$

3 Probar que los puntos: $A(1,7)$ , $B(4,6)$ y $C(1,-3)$ pertenecen a una circunferencia de centro $O(1,2)$ .

Si $O$ es el centro de la circunferencia, para que $A,B$ y $C$ pertenezcan a una circunferencia, por definición las distancias de $O$ a $A$ , $O$ a $B$ y $O$ a $C$ deben ser iguales. Comprobemos esto utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos.

    $d(O,A)=\sqrt{(1-1)^{2}+(7-2)^{2}}=\sqrt{(0)^{2}+(5)^{2}}=\sqrt{25}=5,$
    $d(O,B)=\sqrt{(4-1)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5,$
    $d(O,C)=\sqrt{(1-1)^{2}+(-3-2)^{2}}=\sqrt{(0)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{25}=5.$

4Clasificar el triángulo determinado por los puntos: $A(4,-3)$ , $B(3,0)$ y $C(0,1).$

Primero calculemos las distancias entre los puntos del triángulo para poder clasificar su tipo.

    $d(A,B)=\sqrt{(3-4)^{2}+(0+3)^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{10},$
    $d(B,C)=\sqrt{(0-3)^{2}+(1-0)^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{10},$
    $d(A,C)=\sqrt{(0-4)^{2}+(1+3)^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}.$

Ya que $d(A,B)=d(B,C)\not=d(A,C)$ , podemos concluir que el triángulo es no isósceles, pues si lo fuera, las distancias entre cualesquiera de sus puntos serían iguales.

Además si:

$d(A,C)<d(A,B)+d(B,C)$ entonces el triángulo es Acutángulo,

cuando $d(A,C)=d(A,B)+d(B,C)$ el triángulo es Rectángulo,

y finalmente, si $d(A,C)>d(A,B)+d(B,C)$ se tiene que el triángulo es Obtusángulo.

Por lo anterior se sigue que

$d(A,C)=\sqrt{32}>\sqrt{10}+\sqrt{10}=d(A,B)+d(B,C),$
y por lo tanto el triangulo es Obtusángulo

En la figura podemos encontrar dos puntos $A(x_{1},y_{1})$ y $B(x_{2},y_{2})$ en el plano cartesiano unidos por un vector.

La magnitud del vector coloreado en rojo y que une los puntos, es el valor que representa distancia entre los puntos

$A(x_{1},y_{1})$ y $B(x_{2},y_{2})$ .

Calcula la distancia del P(4,8) a la recta r de ecuación 5×+2y=0.

Solución
Recordemos que si tenemos una recta de la forma $Ax+By+C=0$ y un punto $P(x_1,y_1)$

entonces la fórmula para calcular la distancia entre el punto y la recta es:

$d= \frac{\vert Ax_1+By_1+C \vert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Donde A y B son coeficientes de las variables en la ecuación de la recta, y C es el término independiente en la ecuación de la recta-

Partiendo de tu problema sabemos que: $A=5; B=2; C=0$ y además tenemos el punto P con: $x_1=4, y_1=8$

Sustituimos esos datos en la fórmula de la distancia y nos queda que:

$d= \frac{\vert 5(4)+2(8)+0 \vert}{\sqrt{5^2+2^2}}$

Simplificamos:

$d= \frac{\vert 20+16+0 \vert}{\sqrt{25+4}}$

$d= \frac{\vert 36 \vert}{\sqrt{29}}$

finalmente quitando el valor absoluto:

$d= \frac{36}{\sqrt{29}}$

viernes, 26 de noviembre de 2021

Sistema de coordenadas cartesianas (rectangulares)

https://youtu.be/43yNvqC1yaE

Para estudiar la distancia entre dos punto consideremos la siguiente figura.

Fórmula para calcular la distancia entre dos puntos y el teorema de PitágorasLa fórmula para calcular dicha magnitud está dada por la siguiente expresión:

El valor de esta fórmula puede ser obtenido usando el Teorema de Pitágoras. Para ello, consideremos el triángulo rectángulo de vértices

, y .

Notemos que el valor de la hipotenusa de este triángulo es la distancia entre los puntos

y .

Ya que la magnitud de los segmentos que unen y , y son y respectivamente.

El Teorema de Pitágoras afirma que el valor de la hipotenusa o la distancia entre

y es

Ejemplos de distancia entre dos puntos

1 Calcular la distancia entre los puntos: y

2 Determinar la condición para que los puntos y disten una unidad. Si la distancia entre y es uno, esto quiere decir que

elevando al cuadrado para eliminar la raíz

3 Probar que los puntos: , y pertenecen a una circunferencia de centro .

Si es el centro de la circunferencia, para que y pertenezcan a una circunferencia, por definición las distancias de a , a y a deben ser iguales. Comprobemos esto utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos.

4Clasificar el triángulo determinado por los puntos: , y

Primero calculemos las distancias entre los puntos del triángulo para poder clasificar su tipo.

Ya que , podemos concluir que el triángulo es no isósceles, pues si lo fuera, las distancias entre cualesquiera de sus puntos serían iguales.

Además si: entonces el triángulo es Acutángulo,

cuando el triángulo es Rectángulo,

y finalmente, si se tiene que el triángulo es Obtusángulo. Por lo anterior se sigue que

y por lo tanto el triangulo es Obtusángulo

En la figura podemos encontrar dos puntos y en el plano cartesiano unidos por un vector.

La magnitud del vector coloreado en rojo y que une los puntos, es el valor que representa distancia entre los puntos

y .

Calcula la distancia del P(4,8) a la recta r de ecuación 5×+2y=0.

Solución Recordemos que si tenemos una recta de la forma y un punto

entonces la fórmula para calcular la distancia entre el punto y la recta es:

Matemáticas 📏📐📄

Fórmula para calcular la distancia entre dos puntos y el teorema de Pitágoras
La fórmula para calcular dicha magnitud está dada por la siguiente expresión:

$A(x_{1},y_{1})$ , $B(x_{2},y_{2})$ y $C(x_{2},y_{1})$ .

$A(x_{1},y_{1})$ y $B(x_{2},y_{2})$ .

Ya que la magnitud de los segmentos que unen $A(x_{1},y_{1})$ y $C(x_{2},y_{1})$ , $C(x_{2},y_{1})$ y $B(x_{2},y_{2})$ son $(x_{2}-x_{1})$ y $(y_{2}-y_{1})$ respectivamente.

$A(x_{1},y_{1})$ y $B(x_{2},y_{2})$ es $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.$

1 Calcular la distancia entre los puntos: $A(2, 1)$ y $B(-3, 2).$
$d(A,B)=\sqrt{(-3-2)^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{(-5)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}.$

2 Determinar la condición para que los puntos $A(0,a)$ y $B(1,2)$ disten una unidad.

Si la distancia entre $A$ y $B$ es uno, esto quiere decir que

3 Probar que los puntos: $A(1,7)$ , $B(4,6)$ y $C(1,-3)$ pertenecen a una circunferencia de centro $O(1,2)$ .

Si $O$ es el centro de la circunferencia, para que $A,B$ y $C$ pertenezcan a una circunferencia, por definición las distancias de $O$ a $A$ , $O$ a $B$ y $O$ a $C$ deben ser iguales. Comprobemos esto utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos.

4Clasificar el triángulo determinado por los puntos: $A(4,-3)$ , $B(3,0)$ y $C(0,1).$

Ya que $d(A,B)=d(B,C)\not=d(A,C)$ , podemos concluir que el triángulo es no isósceles, pues si lo fuera, las distancias entre cualesquiera de sus puntos serían iguales.

Además si:

$d(A,C)<d(A,B)+d(B,C)$ entonces el triángulo es Acutángulo,

cuando $d(A,C)=d(A,B)+d(B,C)$ el triángulo es Rectángulo,

y finalmente, si $d(A,C)>d(A,B)+d(B,C)$ se tiene que el triángulo es Obtusángulo.

Por lo anterior se sigue que

$d(A,C)=\sqrt{32}>\sqrt{10}+\sqrt{10}=d(A,B)+d(B,C),$
y por lo tanto el triangulo es Obtusángulo

En la figura podemos encontrar dos puntos $A(x_{1},y_{1})$ y $B(x_{2},y_{2})$ en el plano cartesiano unidos por un vector.

$A(x_{1},y_{1})$ y $B(x_{2},y_{2})$ .

Solución
Recordemos que si tenemos una recta de la forma $Ax+By+C=0$ y un punto $P(x_1,y_1)$